📐 等費用線・等産出量曲線シミュレーション労働L・資本Kの組合せで「費用最小化（＝接点）」がどう決まるかをスライダーで確認する

問題設定：生産関数はコブ＝ダグラス型 Q = L0.5K0.5（労働L・資本K）。 等産出量曲線（等量曲線）＝同じ生産量になるL・Kの組合せの曲線（右下がり・原点に凸）。 等費用線＝同じ総費用になるL・Kの組合せの直線。 下のスライダーで予算C・賃金w・資本レンタル料rを動かし、費用最小化点（＝接点）がどう動くか確認しよう。
予算 C（総費用）動かすと等費用線が平行にシフト200
賃金 w（労働1単位の価格）傾き −w/r が変わる10
資本レンタル料 r（資本1単位の価格）傾き −w/r が変わる10
📐 等産出量曲線と等費用線／ 横軸＝労働L・縦軸＝資本K
L K 労働 L 資本 K Q₁ Q₂（達成量） Q₃（届かない） 等費用線 最適点 E
賃金 w
10
レンタル料 r
10
予算 C
200
最適 L*
10
最適 K*
10
達成 Q*
10
等産出量曲線（達成できる最大 Q₂） Q₁（届くが最適でない）／Q₃（予算オーバー） 等費用線（予算C・傾き−w/r） 費用最小化点（接点）

🎯 接点＝技術的限界代替率（MRTS）＝ w/r

費用を最小化する組合せは、等産出量曲線と等費用線が接する点（交わるのではなく触れるだけの点）で決まる。 この点では、両方の曲線の傾きが一致している。
等産出量曲線の傾き（の絶対値）を技術的限界代替率（MRTS）という。
MRTS = MPL / MPK（労働をあと1単位増やす代わりに資本をどれだけ減らせるか）。
このケース（Q=L0.5K0.5）では MRTS = K/L。
等費用線の傾きは −w/r。
→ 接点の条件は K/L = w/r。ここから最適点が求まる：
L* = C/(2w)　K* = C/(2r)
💬 やさしい言い換え：
等費用線＝同じ「総コスト」で雇える労働L・資本Kの組合せの直線。
等産出量曲線＝同じ「生産量」になる労働L・資本Kの組合せの曲線（消費者理論の無差別曲線の"生産者版"）。
両者が触れる点が「一番安く作れる（＝同じ予算で一番たくさん作れる）」組合せ。

📋 現在の数値まとめ

項目値
賃金 w10
資本レンタル料 r10
予算 C200
等費用線の傾き −w/r−1.00
最適労働 L*10.0
最適資本 K*10.0
達成できる最大生産量 Q*10.0
💡 試験でのポイント：賃金wが上がると等費用線の傾き（−w/r）が急になり、労働の相対価格が高くなる。 → 企業は労働を減らし資本で代替（最適点が左上へ移動）。逆にrが上がれば資本を減らし労働で代替（右下へ移動）。 予算Cを増やすと等費用線が平行に右上へシフトし、到達できる等産出量曲線がより外側（＝生産量が大きい）ものになる。